Resolución numérica de problemas elípticos con fuentes singulares
5 Oct. 2020 - Google Meet
Este seminario de Matemática Aplicada estará a cargo del Dr, Ignacio Ojea de la Facultad de Ciencias Exactas y Naturales de la Universidad de Buenos Aires.
Resumen:
En esta charla comentaremos los resultados obtenidos en dos trabajos, vinculados a la resolución del problema $-\Delta u = f$ en $\Omega$; $u=0$ en $\partial\Omega$ cuando $f$ es una fuente singular, como por ejemplo una delta de Dirac. Llegamos a este problema a partir de una colaboración con un grupo de físicos interesados en conocer el perfil de temperatura generado en el entorno de una nanopartícula de oro calentada por pulsos láser.
Dado que $f$ no sólo no pertenece a $L^2$, sino tampoco a $H^{-1}(\Omega) = (H^1_0(\Omega))’$, el problema requiere una formulación débil no estándar. Nuestra formulación utiliza espacios de Sóbolev con pesos dados por potencias de la distancia a la singularidad, para los cuales es necesario probar el buen planteo del problema. Por otra parte, la singularidad del dato trae como consecuencia que la resolución por elementos finitos con mallas cuasi-uniformes arroje órdenes de convergencia sub-óptimos. Es necesario, por lo tanto, trabajar con mallas graduadas para las que es necesario por un lado recuperar el resultado de buen planteo del problema continuo y por el otro realizar estimaciones de interpolación que permitan recuperar órdenes óptimos de convergencia. Una de las ventajas de la formulación en espacios con pesos es que los pesos necesarios para plantear correctamente el problema permiten inferir cómo debe graduarse la malla.
En la charla procuraremos presentar los principales obstáculos teóricos que nos encontramos y las ideas generales que aplicamos para resolverlos (sin entrar en tecnicismos), mostraremos algunos resultados numéricos y comentaremos otros problemas relacionados.