Defensa de Tesis "Aportes a la clasificación de álgebras de Hopf punteadas de dimensión de Gelfand-Kirillov finita"

Esta tesis es un aporte a la clasificación de las álgebras de Hopf punteadas de dimensión de Gelfand-Kirillov finita sobre cuerpos algebraicamente cerrados y de característica cero. En una primera instancia nos concentramos en álgebras de Hopf punteadas de dimensión finita sobre grupos no abelianos y cuya trenza infinitesimal no es simple. En este contexto, estudiamos un espacio vectorial trenzado particular que puede realizarse como módulo de Yetter-Drinfeld sobre una familia de grupos no abelianos y que da lugar a un álgebra de Nichols de dimensión finita. Con el objetivo de clasificar las álgebras de Hopf punteadas que tiene esta trenza infinitesimal, seguimos los pasos propuestos por el método del levante. Encontramos una presentación minimal del álgebra de Nichols, crucial para demostrar la validez de la conjetura de generación en grado 1 en nuestro contexto. Introducimos un álgebra de pre-Nichols distinguida que tiene dimensión de Gelfand-Kirillov 2 y es una extensión del álgebra de Nichols por una subálgebra de Hopf trenzada normal. Finalmente describimos todas las álgebras de Hopf punteadas de dimensión finita cuya trenza infinitesimal es la trenza en cuestión; más aún probamos que todas ellas son deformaciones por cociclo de la correspondiente bosonización del álgebra de Nichols. En la segunda parte de esta tesis consideramos dos familias de espacios vectoriales trenzados de tipo diagonal: los de tipo Cartan y los que tienen diagrama de Dynkin completamente disconexo. El objetivo es determinar, para cada una de estas trenzas, todas las álgebras de pre-Nichols de dimensión de Gelfand-Kirillov finita. Para ello introducimos la noción de álgebras de pre-Nichols eminentes. Mostramos que, salvo algunas excepciones, las álgebras de pre-Nichols distinguidas son eminentes. Este tratamiento se asienta en el conocimiento de las relaciones que definen, en cada caso, al álgebra de pre-Nichols distinguida, y las excepciones están relacionadas con fenómenos propios de los casos en los que intervienen raíces de la unidad de orden pequeño. Para dos de los casos excepcionales mencionados anteriormente, construimos álgebras de pre-Nichols eminentes que cubren propiamente a las correspondientes distinguidas.